系统科学概论

吴金闪

北京师范大学

系统科学学院

教育系统科学研究中心(IESS)

目的:介绍系统科学

  • 什么是科学
  • 什么是系统
  • 系统思维
    • 分解和综合,没有部分的整体是空的
    • 透彻联系,看到整体,上下左右贯通
  • 分析方法:网络和数学建模

学什么:学科大图景

  • 典型研究对象
  • 典型研究问题
  • 典型思维方式
  • 典型分析方法
  • 和世界以及其他学科的关系

数学学科大图景

  • 从研究数和形到研究关系
  • 对关系做计算(推理),成为场景应用模板
  • 知识的系统性、看到一阶二阶三阶相似性
  • 公理化体系、证明、数学四步、数学四问
  • 和世界以及其他学科的关系
    • 用来表达思考和思想
    • 用来描述世界

数学四步

  • 提出问题
  • 建模,把问题转化为数学问题(提出和运用数学概念)
  • 求解数学问题(发明或者运用解法)
  • 检验答案,系统化模型、概念、解法

数学四问

  • 这个场景里面有哪些主要因素(What)
  • 这些因素之间是如何相互联系的(How)
  • 这些联系是如何用数学结构来表达的(How)
  • 为什么这些因素是主要的,这些联系为什么用这些结构来表达(Why)
  • 这思路怎样?还有其他的思路吗?求解出来的答案对吗?(Meaningful)

勾股定理的证明

Proof of the Pythagorean theorem

  • 一个三角形都有哪些变量:$a,b,c$,$\angle A, \angle B, \angle C$,$S, C$,$h_{a}, h_{b}, h_{c}$, …
  • 都独立吗?为什么要找一组独立而且足够的?

勾股定理的证明

  • 一个直角三角形都有哪些变量:$a,b,c$,$\theta$,$S, C$,…
  • 一组独立而且足够的:$a,b$, $c,\theta$
  • 其他变量都是这一组变量的函数,例如$c=F\left(a,b\right), a=H\left(c,\theta\right), S=G\left(c,\theta\right)$

勾股定理的证明

  • 我们选择$c,\theta$
  • 来看看$S=G\left(c,\theta\right)$大概长什么样
  • $\left[S\right]=m^2$,$\left[c\right]=m$,$\left[\theta\right]=1$
  • 于是,为了单位正确,$S=c^2f\left(\theta\right)$——量纲分析

勾股定理的证明

Proof of the Pythagorean theorem

  • 三个三角形中使用$S=c^2f\left(\theta\right)$
  • 得到其面积分别为:$S_{c}=c^2f\left(\theta\right)$,$S_{a}=a^2f\left(\theta\right)$,$S_{b}=b^2f\left(\theta\right)$
  • 根据$S_{a}+S_{b}=S_{c}$,得到$a^2+b^2=c^2$

勾股定理的证明,小结

  • 确定一个系统包含哪些主要因素
  • 找到独立且足够的变量,就解决了问题的一半
  • 更复杂的问题需要从机理上确定因素之间关系
  • 注意联系到数学解题四问

得到单摆公式

Period of a pendulum

得到单摆公式

  • 单摆问题有哪些变量
    • 摆长$l$
    • 摆球质量$m$
    • 周期$T$
    • 最高点位置或者角度$\theta_{0}$
    • 最低点速度$V_{max}$
    • 重力加速度$g$(?)
  • 假设摆长不变(为什么?)

得到单摆公式

  • 独立且足够的变量选择:$l, m, \theta_{0}, g$(?)
  • $T=F\left(l, m, \theta_{0}, g\right)$
  • 来看单位
    • $\left[l\right]=m$, $\left[m\right]=kg$,$\left[\theta_{0}\right]=1$,$\left[g\right]=m/s^2$,
    • $\left[T\right]=s$
  • 为了单位正确,必须保证$T=\sqrt{\frac{l}{g}}f\left(\theta\right)$

得到单摆公式,小结

  • 确定一个系统包含哪些主要因素
  • 找到独立且足够的变量,就解决了问题的一半
  • 找到独立且足够的变量需要对问题认识深刻
  • 更复杂的问题需要从机理上确定因素之间关系
  • 注意联系到数学解题四问

怎么学:上下左右贯通

  • 通过创造体验式学习具体知识体会学科大图景
    • 从经验到抽象概念,数和数数
    • 提出问题、数学描述、解决问题、检验和系统化
  • 通过把大图景用于问题提出和解决问题而体会大图景
    • Dirac的$\delta\left(x\right)$函数
  • 在数学、物理学、社会科学中横跳

系统科学的大图景

  • 系统科学首先是科学
  • 系统科学研究“系统”
  • 系统科学用系统和科学的方式来研究系统

系统科学的大图景

The Big Picture of Systems Science

科学

  • 科学是建立世界的可计算的模型
  • 算出来的结果和对世界的测量结果相符
  • 理论的系统性:用尽可能少的假设和概念来解释尽可能多的现象
  • 证实和证伪
  • 上下左右贯通,体会到科学,具有一般意义

系统

  • 包含多个内部元素
  • 研究对象没有特定领域限制
  • 区分系统和外界
  • 透彻联系,看到整体,上下左右贯通
  • 结构和功能相适应
  • 有一些典型分析方法可以更好地用系统课科学的方式来研究系统
    • 网络
    • 数学建模
    • 系联$=$联系$^{1}+$联系$^{2}+$联系$^{3}+\cdots$

系统科学学科现状

  • 有系统思维
  • 有一些分析方法来实现系统思维
  • 某些问题上可以看到系统思维和分析的附加值
  • 从具体中来,成为一般,到其他的具体中去
  • 但是,还不成熟
    • 独特的自己“一般”
    • 体现系统思维和分析高附加值的例子

系统科学路线图

Roadmap of The Development of System Science

系统科学小结

  • 系统科学是科学——世界的可计算可证伪的模型
  • 系联 = 联系$^{1}$ + 联系$^{2}$ + 联系$^{3}$ + · · ·
  • 从孤立到有联系,从直接到间接,从个体到整体,从整体看个体
  • 透彻联系,看到整体,上下左右贯通
  • 从具体系统中来,到具体系统中去
  • More is Different, More is The Same
  • 下面用具体例子上的分析来体现好这一页

从案例到学科大图景

  • 什么是科学
  • 什么是系统科学

什么是科学

  • 提出问题、建模、计算、实验、系统化、批判性思维
  • 从经典力学发展史来看
  • 以量子系统的数学模型来看

从经典力学发展史来看科学

  • Aristotle 之前物理和哲学不分家
  • Aristotle 之后物理学研究形而下,“物质的”世界
  • 不过Aristotle的具体物理知识是错的
    • 重物落得更快
    • 力是维持物体运动的原因
  • Galileo 提出来,“物质的”的意思是可以做测量做实验

从经典力学发展史来看科学

  • Claudius Ptolemaeus 完善之后的地心说(本轮均轮理论)足以描述大量天体的运动, 但是繁琐
  • Kopernik 基于观测和计算提出(发展)了日心说的猜想,更简单,也能描述很多天体 的运动
  • Tycho Brahe,一个相信地心说的有钱人,做了大量的非常细致的天文观测,造仪器

从经典力学发展史来看科学

  • 数学好的 Kepler 在 Tycho 的数据基础上做计算总结出来了太阳系天体运行的规律
    • 在同一平面上的以太阳为焦点的椭圆
    • 单位时间内天体和太阳连线扫过的面积相同
    • $\frac{T^2}{R^{3}}=const$
  • “为什么”天体会这样运动?

从经典力学发展史来看科学

  • Galileo 做了地面上的两个实验
    • 滑块滑到地面以后在不同质地的平面上运动
    • 不同质量的物体下落时间一样
  • 否定了“力是维持运动的原因”
  • 为什么这些物体这样动?

从经典力学发展史来看科学

  • Newton横空出世:
    • 物体运动的数学模型——带有时间参数的空间矢量$\vec{x}\left(t\right)$
    • $\vec{F}=m\vec{a}=m\ddot{\vec{x}}$可以解释Galileo地面上的实验结果

从经典力学发展史来看科学

  • Newton横空出世:
    • $\vec{F}=m\vec{a}$需要能够处理变力、曲线运动的数学——微积分,那就发明它
  • 如果我们非得认为从地面上运动得到的$\vec{F}=m\vec{a}$在天体上也对,则
    • 在微积分的帮助下,得到$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$
  • 对统一性系统性的追求

从经典力学发展史来看科学,小结

  • 数学是科学的语言,可计算的理论
  • 对简单性、知识的系统性的追求
  • 做实验检验
  • 证实和证伪
  • 科学研究形而下的可测量的事物
  • 力学世界观:状态如何描述,是否发生变化,发生变化又如何描述

科学更精炼的小结

  • 批判性思维(计算推理、实验检验,Aristotle)
  • 建模和计算
  • 实验检验
  • 知识的系统性
  • 科学不回答为什么:$\vec{F}=m\vec{a}$和$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$为什么可以和实验相符?

模型、数学模型和表示

  • 模型是大脑中对世界(的某些对象的某些属性)的一个表示
  • 表示:外界对对象做什么,以及反过来,可以做在这个表示上
  • 数学模型:把“做什么”变成对这个表示的计算
  • 例如,在这里——忽略大小和形状之后,描述了
    • 怎么转
    • 为什么这样转
  • 可以进一步推广

科学和数学

  • Russell的分类
  • 体会数学四步的例子

科学和数学:Russell的分类

  • 得了Nobel文学奖的数学家Russell写道:
    • 科学讲道理,还做实验检验
    • 哲学讲道理,暂时做不了实验检验
    • 神学不讲道理,也做不了实验检验
  • 吴金闪补充的:数学讲道理,不屑于不需要做实验检验,可以受现实启发

科学和数学之数学

  • 数学是描述世界的语言,为描述世界提供最普适的结构
  • 数学是思维的语言
  • 含义明确,可计算(推理)
  • 在相关数学课中再展开

从信息熵看什么是科学

  • Mores码:用长短间隔来编码字母,每一个字母的码长度不一样
  • 频率越大的字母代码越短
  • 这样做,整体平均长度就短,效率高
  • 长度和频率什么具体数量关系最好

Mores码和信息熵

Morse Code

Mores码和信息熵

Letter frequency

信息熵公式

  • $l_{j} = -\log_{2}{p_{j}}$ 满足频率越大长度越短
  • 则平均编码长度为 $\left\langle l \right\rangle = \sum_{j} -p_{j}\log_{2}{p_{j}}$
  • 科学家证明了这个确实是平均长度最短的理论编码方式
  • Huffman编码实现了这个理论极限
  • 信息熵还可用于到很多其他场景,信息科学

从信息熵看什么是科学小结

  • 从编码发送的需求提出高效编码方式的问题
  • 问题解决方案的直觉:频率高则码短
  • 变成一个优化问题来求解,或者猜出来答案然后来证明
  • 科学家和工程师找出来实现方案
  • 实验检验

从信息熵看什么是科学小结

  • 数学四步
  • 科学是构建世界的可计算的可检验的数学模型
  • 科学就是寻找现实的对象最合适的数学结构
  • 通过计算和证明求解,最后检验、总结、推广

模型、数学模型和表示

  • 模型是大脑中对世界(的某些对象的某些属性)的一个表示
  • 表示:外界对对象做什么,以及反过来,可以做在这个表示上
  • 数学模型:把“做什么”变成对这个表示的计算
  • 在这里:
    • 用概率分布来描述每个字母的出现
    • 用概率分布的函数来计算编码长度
  • 还可以进一步推广

从Slage符号积分系统看系统科学

  • 符号积分问题
  • Slage符号积分系统
  • 哪里系统科学了

符号积分问题

  • 人怎么算积分
    • 掌握一些基本公式
    • 通过变换把其他的形式变成基本形式
  • 那么,有哪些基本形式和变换呢?

Slage符号积分系统

  • 二十个左右的基本积分公式,例如$\int dx x^{n}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
  • 十来个可靠变换,例如$\int dx \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\int dx f\left(x\right)+\int dx g\left(x\right)$
  • 十来个可以尝试的变换,例如看到$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$就尝试用$x=\sin{\left(\theta\right)}$

Slage符号积分系统

  • 一套决策树:尝试各个变换,判断变换完之后是否得到基本公式,不断循环

Slage Analitical Integral

哪里系统科学了

  • 分解——找到过程系统的最基本的单元
  • 综合——单元再合起来形成系统
  • 依靠联系——决策树连接基本公式和变换
  • 知识和运用知识方法整合起来

从量子力学看什么是科学

  • 乒乓球过三道门
  • 绳子上的波过三道门
  • 光过三个偏振片

乒乓球过三道门

  • 演示行为:门相同和门不同条件下的现象
  • 数学模型——离散状态的概率
    • 乒乓球:两种颜色随机取一种,不变
    • 门:同色允许过,不同色不允许过
  • 中间多一道门不可以使得不能过的情况能过

绳子上的波过三道门

Vector Decomposition

光过三个偏振片

Dirac's 3 polarizer experiment

  • 单光子实验:一个光子过或者不过偏振片,光子本身强度不减弱
  • 中间多一个偏振片可以使得不能过的情况能过,怎么解释

量子行为的数学模型

  • 一个或者两个偏振片的时候能够用随机的单光子来解释
  • 三个偏振片的时候可以用矢量来解释,不能用于单光子
  • 似乎把光子看做一个符合“矢量分解”的乒乓球就可以
    • 单个光子的振动也看作是另外两个方向的叠加?
    • 没法“想明白”,可以算,结果是对的

经典和量子的差别

Concept Map on Dirac's 3 polarizer experiment

量子态用矢量表示?

  • 单个粒子通过这组实验仪器得到的结果没法用经典概率论解释
  • 一个状态中有另一个,这需要用什么数学?矢量
  • 人类(基于经典概率论来)不能理解

从量子力学看什么是科学小结

  • 科学就是在创造性地运用或者创造数学结构来描述世界,只要计算结果和测量相符
  • 科学不关心人类是否能够“理解”,或者说,“建立数学模型”之外无“理解”
  • 无论对么高深的科学知识都要靠对比实验
  • 科学不回答为什么这个模型管用

矢量作为数学模型

  • 空间位置矢量
  • 位移(速度、动量)矢量
  • 矢量:有大小、有方向
  • 矢量:相加、旋转、算夹角(相似性)、平移
  • 一个词的含义?相加、算相似性
  • 一个函数(操作):相加和基矢量(基本操作)

前面课程的小结

  • 什么是科学
    • 数学建模和计算
    • 实验检验(可证伪)
    • 知识的系统性
    • 批判性思维
    • 科学不回答为什么
  • 科学和数学
    • 数学是思维的语言
    • 数学是描述世界的语言

科学思维和工程思维

  • 对科学的理解无论多强调都不为过
  • 今天,大量的问题的背后还是不认识科学
  • 从科学知识,走向科学思维和科学精神
  • 科学,从根子上怎么做,能不能做
  • 工程,经常依靠经验,直接冲着目标
  • 工程,回到科学,推动科学

什么是系统科学

  • 用系统和科学的思维方式和分析方法研究系统
  • 系统思维:透彻联系,看到整体,上下左右贯通
  • 系统分析方法
    • 系统图示法
    • 网络——系统的骨架,企业知识库的例子
    • 广义投入产出分析
    • 涌现,集体行为,相变(激光)

系统图示法(概念地图)

  • 系统和外界的划分
  • 内部结构:系统包含哪些因素,因素之间的关系
  • 系统的整体功能,功能和内部结构的关系

系统图示法举例

  • 自行车
  • 对象
  • 从对象、对象关系到系统的演化
  • 从对象、对象关系到系统的整体功能
  • 从对象、对象关系到系统中重要元素的识别

自行车

自行车系统的图示

  • 还可以把骑手和车一起看做系统,则道路环境和骑行的时间地点目标成为外界

自行车

自行车系统的图示——对象的语言

  • 整体功能:把骑手的能量和意图变成自行车速度的大小和方向

系统和外界的划分

  • 回顾勾股定理的证明
  • 回顾得到单摆公式
  • 搞清楚系统内部有哪些元素,确定独立且足够的变量,解决了问题的一半
  • 加上内部元素之间的关系?
  • 加上内部和外部的联系?

系统图示法另一例

由于保密原因,只能本地展示 Cell_Updawn.jpg

系统图示法小结

  • 把所有的对象都从内部和外部来看
  • 再构成更大的对象
  • 看到整体
  • 需要需要内部,则通过“方法”联系起来不同层次
  • 能不能除了看,还能分析计算?

网络——系统的骨架

  • 什么是网络
  • 脑网络
  • 企业知识库、问题集
  • 汉字网络和理解型学习

什么是网络

  • 对象、对象之间的关系,抽象为网络
  • 同类关系的网络
  • 多种关系的网络
  • 网络用于区分重要/次要节点和连接性
  • 网络用于度量整体结构
  • 以后会有更加专门的课程

网络:节点重要性

  • 直接量:度、加权度
  • 间接量:PageRank

PageRank Algorithm

$p=\left[\gamma A+\left(1-\gamma\right)E\right]P$来自于Wikipedia

网络:整体结构

  • 距离
  • 模块化度

脑网络的例子

脑区网络

  • Wang J et al. Biol Psychiatry. 2013; 73: 472-481

脑网络的例子

健康、受损、退化病人脑区网络 健康、受损、退化病人脑区网络

  • 受损的平均最短距离变长 (HC: 7.950 ± 5.236; aMCI: 14.506 ± 22.250; p = .047)
  • 模块化程度降低 (HC: 3.129 ± 1.015; aMCI: 2.696 ± .632; p = .084)

企业知识库、问题集

  • 有问题集的好处
  • 有企业知识库的好处
    • “作者-论文-概念三层网络”
    • 概念词条解释,类Wiki
    • 问题集联系到企业知识库
    • 职位-技能-任务网络
  • 刻画和运用(尤其间接)联系就是网络
论文-概念网络举例

Paper-Concept Network

概念词条举例

Wiki on Systems Science

汉字网络和理解型学习

MultilayerFramework

汉字学习顺序算法
  • 已知汉字之间的直接联系($i$是$j$的部件)矩阵$a^{i}_{j}$
  • 定义$A$的列归一化(对行求和等于1)的矩阵$\tilde{A}$
  • 求解逆矩阵,其中$W$是使用频率,$\tilde{W}$是学习顺序 \begin{equation} \tilde{W}= \left(1-\tilde{A}\right)^{-1}W= W + \tilde{A}W+\tilde{A}^{2}W+\tilde{A}^{3}W + \cdots \end{equation}
  • 考虑了汉字的使用频率、直接构成字的数量(度)、是否参与构成了很多层汉字
汉字学习顺序
  • 成本-累计字数,成本-累计频率

TotalCharactersTotalFrequencies

汉字研究的例子
  • 高效学习顺序,甚至个性化
  • 自适应诊断性检测算法
  • 甚至决定教什么学什么,而不仅仅怎么学
  • 向上走到一般性的教和学
  • 左右迁移到其他学科

广义投入产出分析

  • 经济部门投入产出分析
  • 经济-环境投入产出分析
  • 经济-环境-劳动力投入产出分析
  • 经济-环境-劳动力-知识投入产出分析
  • 论文、学科、专利之间的投入产出分析
  • 球员或者部门贡献的投入产出分析

多部门投入产出分析示意图

Input-Output Analysis of Economic-Enviroment-Human Resource

经济部门投入产出分析

  • 部门$i$的产出去了其他部门和消费者部门$N$,
  • $X^{i}=\sum_{j=1}^{N-1}x^{i}{j}+x^{i}{N} = \sum^{N-1}_{j=1}\frac{x^i_j}{X^{j}}X^{j}+Y^i$
  • 也就是$X^{\left(-N\right)} = B^{\left(-N\right)}X^{\left(-N\right)} + Y^{\left(-N\right)} $
  • $X^{\left(-N\right)} = \left(1-B^{\left(-N\right)}\right)^{-1} Y^{\left(-N\right)}$ $=Y^{\left(-N\right)}+B^{\left(-N\right)}Y^{\left(-N\right)}+B^{\left(-N\right)}B^{\left(-N\right)}Y^{\left(-N\right)}+\cdots$
  • 定义$L^{\left(-N\right)}_{B}= \left(1-B^{\left(-N\right)}\right)^{-1}$
  • 响应$\Delta X^{\left(-N\right)}= L^{\left(-N\right)}_{B}\Delta Y^{\left(-N\right)}$

经济-环境-劳动力投入产出分析

  • 增加了来源于劳动力再生产的一项 \begin{align} X^{e_{i}}&=&\sum_{c_{j},c_{k}}B^{e_{i}}{c_j}L^{\left(-e-fd\right), c{j}}{c{k}} Y^{c_{k}} \end{align} \begin{align} & & + B^{e_{i}}{fd}\sum{c_{j},c_{k}}B^{fd}{c_j}L^{\left(-e-fd\right), c{j}}{c{k}}Y^{c_{k}}. \end{align}
  • 相当于产品的增加也会增加洗澡等用水
  • 理论有了,现在在做具体系统的分析
  • 将来把环境再生产能力也放进去

涌现和相变

  • 绳子上的波,集体运动模式
  • 磁铁的相变,不相关的振动变成一致的振动
  • 可激发的人群
  • 激光:激光腔,受激辐射,频率和方向一致 Laser

本课设计和系统科学

  • 上下左右贯通:从例子到信息,到学科大图景
  • 各个部分之间有联系
  • 这个课程设计本身就是系统
  • 科学还差点
    • 构建系统科学的概念网络
    • 然后计算分析,教什么,怎么教
    • 然后做教和学的实验

本课程设计体现了系统科学

The Design of Invitation to Systems Science

本课程设计体现了系统科学

The Design of Invitation to Systems Science

系统科学路线图

Roadmap of The Development of System Science

系统科学的大图景

The Big Picture of Systems Science

学习资源

  • 系统科学
  • 学习方法
  • 科学
  • 物理学
  • 数学

学习资源:系统科学

学习资源:系统科学

  • Chaos: Making a New Science(《混沌开创新科学》) by James Gleick
  • Systemic Thinking: Building Maps for Worlds of Systems(《系统图示法》)by J. Boardman and B. Sauser
  • Exploring Complexity by G. Nicolis, G. Nocolis and I. Prigogine
  • Complexity: A Very Short Introduction by J.H. Holland

学习资源:学习方法

  • How to Read A Book (《如何阅读一本书》)by M.J. Adler and C. Van Doren
  • Aims of Education(《教育的目的》)by A. N. Whitehead 之一,做读书笔记
  • 吴金闪 《教的更少,学得更多》,系统科学和教育

学习资源:科学

  • Art of Scientific Investigation (《科学研究的艺术》) by W.I.B. Beveridge
  • The Logic of Scientific Discovery(《科学发现的逻辑》)by K. Popper
  • The Evolution of Physics(《物理学的进化》)by A. Einstein and L. Infeld
  • The Character of Physical Law (《物理定律的特性》) by R. Feynman
  • How Nature Works(《大自然如何工作》) by Per Bak

学习资源:物理

  • 于渌,郝柏林和陈晓松《相变与临界现象》
  • 赵凯华的《定性和半定量物理学》
  • 吴金闪“量子力学无基础入门”课程以及《二态系统的量子力学》

学习资源:数学

  • Mathematics: A Very Short Introduction by T. Gowers
  • An Introduction to Mathematical Modeling(《数学模型引论》)by E.A.Bender
  • The Model Thinker(《模型思维》)by Scott E. Page

致谢和提问

  • 感谢您的时间,建议和意见
  • 带回家的消息:系统科学包含了系统和科学两个关键词
    • 科学:构建世界的可计算的可通过实验证伪但是迄今还没有被证伪的模型
    • 系统:透彻联系,看到整体,上下左右贯通,系联

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