联系、理解和创造——学会学习和思考入门级

这节课的目的

了解理解型学习的核心理念和概念
掌握概念地图的制作技能
顺便：随时打断我问问题

这门课的目的

帮助你更好地学和教
帮助你更好地创造
课程形式：做中学
- 一次理念和概念介绍
- 一次学科课程展示
- 剩下内容都是生成性的

警告

课程有很多作业，需要花很多时间，付出很多努力
教师和助教团队会投入大量的时间和精力
我们只希望和严肃的学习者一起成长
老师（尤其是）和助教的批评直接深刻
每次都有被“捐款”到合作的公益民办非企的

课程信息

用心投入时间学习

如果这些都受得到了的话：时间、精力、学习态度、直接深刻的点评、押金
你会收获一个对自己和世界的新的认识、新的认知的方法
你或收获一群正在改变世界的人
本课程的助教就是这么被忽悠和锻炼出来的，感谢他（她）们

内容提纲

教和学的科学
理解型学习的核心理念和概念
理解型学习举例
- 数学学什么怎么学
- 语文学什么怎么学
- 科学学什么怎么学
下金蛋的母鸡：WHWM
课程总结
练习理解型学习和概念地图制作
进一步学习资料

各种场景中的教和学

学校
生活
工作
反例：本能或者无脑重复性活动

教和学的科学

教和学的学科的学科责任是：
- 帮助学生学得更好，
- 帮助教师教得更好（从而帮助学生学得更好），
- 帮助教和学的研究者做更好的研究（从而…）

教和学的科学

教和学的科学需要回答：
- 教和学什么
- 怎么教和学
- 为什么教和学这些
- 为什么这样教和学（理念、概念体系、实验检验）
- 如何来回答这些问题
- 有什么样的脚手架可以实现学科责任

教和学的科学

当前的教育学的理论可以达成这个目的，回答这些问题吗？
我们的“人类知识高速公路上的以高层知识生成器为目标的理解型学习”（简称理解型学习）可以

理解型学习

教和学什么：高层知识生成器
怎么教和学：上下左右贯通，双向生成
为什么教和学这些：
- 为了培养创造知识、创造性地使用知识的人，理解知识的创造和创造性使用的人
- 而不是收集知识和重复性使用知识的人

理解型学习

为什么这样教和学：有待检验，知识的层次，知识的联系，创造知识的经验
如何来回答这些问题：科学精神、科学方法（数据获取和分析，数学建模，实验检验，概念化系统化）
有什么样的脚手架可以实现学科责任：学科大图景、学科概念网络、创造体验式学习

理解型学习字面定义

用概念地图来的形式来解释什么是理解型学习

核心理念和概念

教和学的目的
知识的联系和层次
学科大图景
系联性思考：上下左右贯通，透彻联系，看到整体
批判性思维
能力创造和使用知识的习惯和意愿
人才的层次

核心理念和概念

成长型思维
做中学、项目式学习、现象式学习
教中学
创造体验式学习
科学思维：数学建模、实验检验、（演绎证明、系统化）

理解型学习定义

理解型学习的核心概念和理念

理解型学习定义

除了每个概念的细节和例子，以及联系，课程主要内容结束
这里可以当作理解型学习的例子的地方：
- 从一个概念的字面意思到内在含义：名实相符
- 从一个概念和其他概念（原则上需要先建立）的联系来学习这个概念
- 每一部分内容，除了其本身，还要交代其在整体中的位置，和其他内容的联系

教和学的目的

学是为了帮助学习者
- 提出问题、解决问题
- 创造知识、创造性地使用知识
- 欣赏知识的创造和创造性的使用
教是为了帮助学生
- 对学什么更有方向感
- 掌握学习方法
- 提升学习意愿

学习的目的

学习是为了提出和解决问题，创造和创造性地使用知识。字典和重复性使用者正在被技术取代

教的目的

教是为了不教，为了帮助学习者学会学习的方法、找到学习的方向、提升学习的意愿

如何做得到

这些目的只有在最后一个馒头才能实现吗？
- 必须先记住大量事实性程序性知识？
- 有一种叫做基础知识、基本技能的东西？
- 或者，因为之前都是这样教，现在也就这样教？
要么没有责任心，要么无脑不思考，要么学科修养浅薄，要么没有想象力
只有为了某个一定要学会或达到的目标来说是必要的才是基础和基本

如何做得到

老师需要先确定这些高层目标
- 然后，反过来，通过知识之间的联系，来确定达到这些高层目标所需要的真正的基础知识和基本技能
- 而且越少越好
- 不是不能让学生记住（结果），是不能让学生记忆（动作、方法、过程）

如何做得到

学习每一个具体知识的时候，就要
- 知道这个具体知识怎么来的，为什么正确
- 用来解决什么问题，理论的、实践的、好奇心
- 这个具体知识如何联系到其他知识，尤其是其上下和左右的
- 直到其和学科大图景、一般性人类思维、教和学的方法之间的联系

如何做得到

具有整体观可计算和检验的可迁移的创造体验式学习
人类高速公路上以高层知识生成器为目标的理解型学习
具体概念见下面的解释，也是本课程的主要内容

本小节在整个课程中的地位

整个理解型学习的逻辑基础
提出和解决问题的人，创造知识和创造性地使用知识的人，需要掌握理解型学习
称为“探索世界的人”
基础研究正在补充开展中

为什么交代每一部分的地位

学习者有方向感
- 从部分看到整体 -从整体的角度来看每个部分
称为“系统科学”的核心思想——系联
- 还能基于此构建数学模型，做计算
- 做实验检验
- 例如“汉字结构和汉字理解型学习”

例如，汉字学习顺序算法

已知汉字之间的直接联系（$i$是$j$的部件）矩阵$a^{i}_{j}$
定义$A$的列归一化（对行求和等于1）的矩阵$\tilde{A}$
求解逆矩阵，其中$W$是使用频率，$\tilde{W}$是学习顺序 \begin{equation} \tilde{W}= \left(1-\tilde{A}\right)^{-1}W= W + \tilde{A}W+\tilde{A}^{2}W+\tilde{A}^{3}W + \cdots \end{equation}
考虑了汉字的使用频率、直接构成字的数量（度）、是否参与构成了很多层汉字

汉字研究的例子

汉字结构和汉字理解型学习”

汉字研究的例子

高效学习顺序，甚至个性化
自适应诊断性检测算法
甚至决定教什么学什么，而不仅仅怎么学

汉字学习顺序

成本-累计字数，成本-累计频率

知识的联系和层次

人类知识高速公路：相互联系的知识
知识的层次和高层知识生成器
- 第零层，前知识：经验和体验
- 第一层：事实性程序性知识
- 第二层：学科概念
- 第三层：学科大图景
- 第四层：一般性人类思维、教和学的方法

学科大图景

典型研究对象
典型研究问题
典型思维方式
典型分析方法
和世界以及其他学科的关系

一般性人类思维

批判性思维
系联性思考
成长型思维
理解型学习
做中学、教中学、创造中学

理解型学习

上下联系：
- 概念生成：上层知识用于具体场景的时候生成下层知识
- 概念形成：上层来自于对下层的抽象、提炼和总结
左右联系，概念同化：
- 同层内知识也具有相互依赖的关系
- 不同领域的知识之间可以相互迁移借鉴
高层知识生成器：从某各学科的某些案例体会到三四层之后，可以生成这个学科甚至其它学科的一二层，迁移到三四层

人类思维猜想

形式上只有层次性思维和类比思维
可检验吗？
可以帮助教、学和创造知识吗？
质量和内涵维度还有例如逻辑思维，基于逻辑思维的批判性思维

理解型学习

理解型学习
- 运用了上下左右的联系来学习的过程（怎么学）
- 达到学会高层知识生成器的结果（学什么）
机械式学习：孤立知识点，通过重复练习来学习的过程
为了做理解型学习，可以稍微学点概念地图

关于“能力”和“知识”

能力是知识和问题间的联系，我们发现“用知识来提出和解决问题”需要
- 思维层（第三四层）的知识
- 学科概念层和事实性程序性的知识
- 喜欢面对挑战性问题的习惯
在我们的概念体系中，没有独立的能力层，能力就是使用（高层）知识来提出和解决问题的意愿和习惯

教和学的方法

要学到和会用高层生成器
要理解型地学：从一二层学会三四层，用到其他的一二层中去，上下左右联系贯通
高层知识生成器有助于迁移学习和迁移创造，实现教和学的目的

创造体验式学习

选择和改编（略简化）一个体现做要教的内容的问题
- 最好是当时这个知识创造出来的时候的问题
- 不要简化得太狠，在学生可以被启发来解决的前提下，越原始越好
启发和带领学生一起来解决这个问题
总结提炼背后的各层知识，尤其是高层知识
创造体验式学习公众号帖子

人才的层次

第一层，知识作用放大者
第二层，问题解决者
第三层，研究者、创造型工程师设计师、问题提出者
第四层，战略性人才，架构师
第五层，战略性人才和架构师的培养者

Movers

All mankind is divided into three classes: those that are immovable, those that are moveable, and those who move.” —— Benjamin Franklin

世上只有三种人：不能被改变的，可被改变的和改变者——本杰明·富兰克林

这个公益培训的意义

第五层，发现和培养改变世界的人的人
第三、四层指引和帮助改变世界的人来改变世界
第二层是直接改变世界的人
第一层把改变放大的人

理念和概念小结

知识的联系和层次
人才的层次
学什么：高层知识生成器
- 学科大图景
- 一般性人类思维（批判性思维、系联性思考）和理解型学习
怎么学：上下左右贯通

理念和概念小结

教和学的目的：创造和创造性地使用知识
创造体验式学习：从创造中，通过上下左右贯通，学会创造

理念和概念小结，概念地图形式

从“什么是科学”的角度来看理解型学习

这一节在整体课程中的地位

留给大家思考
作业
- 画个目前为止课程内容的概念地图
- 注意这部分内部的概念和关系
- 这部分内容和后面其他内容的关系

作业参考答案

已经比讲课内容要简略

作业参考答案

更简略，忽略概念的定义和举例

作业参考答案

更更简略

作业参考答案

只剩下想要传达的信息

后续课程内容

用具体例子更好地体会到前面的核心理念和概念
这个教的过程本身就是上下贯通，甚至左右贯通的过程
三分钟讲解“什么是概念地图”
学员、教师、助教互动阶段

学员的任务

每个人找队友组成团队
给团队找个问题，不要那种表面知识就能回答的问题，要可以深入一点的
- 从是什么走向怎么做，为什么可以和需要这样做
- 从第一层知识走向二三四层知识
- 最好有上下贯通的过程，而不是只有结果
作图，报告，讨论交流

学员的任务

给团队选择一个学科性的或者复杂一点的问题，梳理，作图，报告
警告：老师（尤其是）和助教都是Socrates的徒弟，逼问非常不给面子
非常耗时间

休息，休息一下

朴素理解型学习举例

历史理解着学？
海狮、海豹？
成语
质量
白马非马
小结

历史理解着学？

除了死记硬背，可以用高层知识生成器——地理科学的“因地制宜”的思想——来解决

海狮、海豹？

名实相副

成语

成语为什么叫“成语”，已经形成的
欢天喜地？见怪不怪？刻舟求剑？
成语的标准是什么
- 用的人多？
- 有历史上文言文中的出处？
- 通过成语字典来定义？

成语

知道这几个字算不算成语又如何？
能不能用有什么区别？
语文学习的根本目的
- 有自己的思想和思考，想表达，可以表达
- 有别人的思想和思考，想搞懂，可以搞懂
锦上添花可以有，硬要用不能有
还有名人名言

质量和质量

质量为什么是质量（好坏）
物质的量
能量、动量、速度
语文、数学、科学

白马非马

白马肯定是马（的一匹，的一种）
白马（这个群体）不等于马（这个群体）
关键之处在于
- “非”的含义是“不是，不属于”，还是“不等于”
- 个体和群体名词要区分
用“集合”语言（$\in, \subset$）更容易说清楚

因式分解为什么值得教和学

因式分解为什么值得教和学（公众号帖子）

例子的小结

名实相副
打破砂锅问到底
讲逻辑，批判性思维
逻辑之外的想象力、实验检验、会算
正确和错误的前提是含义是明确的
任何知识都可以理解着学，联系着学，学明白

休息，休息一下

理解型学习应用

数学学什么怎么学
语文学什么怎么学
科学学什么怎么学

数学学什么

数学是思维的语言
- 明确
- 严密（演绎逻辑）
- 可计算
数学是描述世界的语言
数学知识的系统性
数学解题四问
数学建模五步

数学怎么学

创造体验式学习
- 从经验和现象中提炼概念
- 把概念用于解决问题
用好概念之间的关系

数学怎么学

做中学、用中学
随时注意提升层次
- 从经验到概念
- 从概念到学科思维
- 从学科思维到一般思维
以及反过来，从高层到低层

数学学什么怎么学

用数学的眼光看世界
从用数学的眼光看世界中学会数学

数学是什么的名言

数学就是给不同的东西相同的名字
数学就是你需要它的时候就创造出来的东西
数学就是看到相似性，相似性的相似性，…

学习要求

不需要任何基础
只要愿意去思考
有的时候会有一定挑战性
想学明白数学是什么而不仅仅是怎么算

数学推荐阅读材料

Gamow （伽莫夫）《从一到无穷大》
Gowers （高尔斯）《牛津通识读本——数学》
吴金闪《小学数学这样学》及其中的推荐阅读材料

从数数看数学

从最简单的数数和加法看什么是数学
可能会跟没深入思考时的理解不同
学会使用和创造数学来表达

一个两个三个很多个

原始人数数的故事
原始人的“算筹”——石头、贝克代替其他东西

带着单位数数

Two Apples Two Egges Two Tomatoes

例如，我们问这里分别有几个相应的东西
无论那东西是什么，数都是“$2$”
数数要带着单位
但是，数出来的数是不依赖单位的那部分
数学来自于具体事物，不依赖于具体事物

带着单位数数

其实，这个单位不够准确，只是个大概的整体
单位（整体）还可变：两双筷子，两打袜子
有更明确的单位，米、千克、小时
真的更明确吗？于是，进入到物理的标准单位

数来自于发现和简化模式

“数”+“量”+“物”的模式
跨越“物”，跨越单位（“量”）
从数和数数的现象（物理）到概念（数学）
去掉某些细节以后适用性更强了，叫做“抽象”

符号化，明确

后来还有了数的名称和符号$1,2,3,4,5$
小结：
- 数的概念来自于生活（概念形成）
- 需要发现模式——反复出现的内在结构相同的现象
- 需要通过抽象的过程
进一步：加法和更大的数

带着单位做计算

一个苹果和一个苹果放一起合起来数一数是两个苹果，写成算式（数学符号）是

1 苹果 + 1 苹果 = 2 苹果

1 鸡蛋 + 1 鸡蛋 = 2 鸡蛋

算式不过就是用数学符号来表达一个意思

不依赖单位的加法

一个单位的某个东西和另一个单位的某个东西放一起合起来数一数是两个单位的某个东西
既然适用于任何东西，只要单位相同，则

$1 + 1 = 2$

不依赖于具体东西具体单位——只要有相同单位——的加法
数学超越具体对象的体现：从某某事物数量的加法，变成数的加法

苹果的加法还是苹果数量的加法？

苹果的加法应该得到苹果，

小苹果 + 小苹果 = 大苹果

而且不能跨越对象使用
目前在苹果上，这个“加法”不能实现
反过来，苹果数量的加法，任何对象上都可以用

有没有事物的加法呢？

两种豆子混在一起，不算，没有成为新豆子
两种豆子种在一起，新的后代，算
不过，不考虑变异，从基因的角度，其实还是数量
两种可以发生化学反应的“豆子”，肉加料酒，算
不过，分子的角度算，原子核和核外电子的角度可能不算

有没有事物的加法呢？

甚至核裂变，在更更基本粒子的角度，还是数量变化而已
那，到底有没有事物的加法？
真的有，量子状态：

小苹果状态 + 大苹果状态 = 香蕉状态

$x$方向向上状态 + $x$方向向下状态 = $z$方向向上状态

从数数看数学和科学

一方面，找到世界最基本的构成单位，使得一切都是这些基本单位的不同数量的组合，是科学的目标
一方面，如果事物的相加不能还原成数量的直接相加，那也是科学的进步
将来有一套符号语言来区分事物数量的加法（集合，集合大小）和事物的加法（矢量）
科学和数学相互推动，具体$\Longleftrightarrow$抽象

回到带着单位做计算

试算$1$元$+1$元$=2$元
$1$百元$+1$百元$=2$百元
$1$万元$+1$万元$=2$万元
$1$百万元$+1$百万元$=2$百万元
$1$兆元$+1$兆元$=2$兆元
甚至我都不懂“兆”什么意思
只要把它们当单位

带着更复杂的单位做计算

试算$1$个$\frac{1}{5}$$+1$个$\frac{1}{5}$$=2$个$\frac{1}{5}$，也就是将来的$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
我不懂$\frac{1}{5}$，就好像不懂“兆”
$1$个$x$$+1$个$x$$=2$个$x$，也就是将来的$x+x=2x$
我不懂$x$，将来可以代表任何东西
只要我把它们当单位

从数数看数学小结

数数需要知道数的意思，知道单位的意思
加法是合起来数一数
单纯背加法表和自然数列没意义，不能完全不背
懂得单位，脱离开具体单位，走到关系相同
这就是数学，看到相同关系，相同结构

从数数看数学小结

数学——从具体对象来，脱离具体对象，只包含了对象之间的关系所形成的结构
甚至这个关系本身也可以成为数学对象
- 研究运算的规律
- 而不再是数在某种给定运算下的规律
看到相似性，相似性的相似性，…
抽象思维的威力
当然，论证过程还要严谨

白马非马的数学表示

补充一点数学符号：$\{\cdots\}$, $\in, \subset, =$

白马非马的数学表示

白马非马的意思是？
- $WH \notin \left\{H\right\}$
- $\left\{WH\right\} \not\subset \left\{H\right\}$
- $\left\{WH\right\} \neq \left\{H\right\}$
正确的关系：$ WH \in \left\{WH\right\} \subset \left\{H\right\}$
用数学把意思表达清楚，对比现实
对错很清楚，不用辩

回到数学是什么

哪些地方体现了数学是思维的语言
哪些地方体现了数学知识的系统性
哪些地方体现了数学和科学的关系
- 数学为科学提供描述世界的结构
- 科学启发数学提出新的结构，具体到一般，抽象

回到学习方法

以高层知识生成器（数学学科大图景）为目标的理解型学习
概念形成（获得）、概念同化
建构起来，从无到有，通过面对问题

教育系统科学研究中心

从数的三种作用看数学

记号基数序数
对象关系和数的作用
数学、学习方法上的总结

记号基数序数

一堆符号有什么用：记号
记号基础上可以比较顺序：序数，关系
间隔还一样：基数
对象和数学结构要相互匹配

记号基数序数

自然数$1,2,3,4,5,\cdots$有不同的作用
记号作用，例如每个人一个编号
序号作用，编号本身有内在含义，例如难度、先来后到
描述大小作用，需要统一的大小单位

数的作用需要看所描述对象之间的关系

例如，一篮子苹果
数只能做记号
如果苹果按照大小排列记号遵从这个顺序，则还可以做序号
如果每个苹果的大小间隔相同（这个非常不可能），则还可以算加法

课文之间的关系

例如，一本教科书里面的课文
数只能做记号
如果论文按照难度排列记号遵从这个顺序，则还可以做序号
如果每篇课文的难度间隔相同（这个非常不可能），则还可以算加法
但是，可以单纯看页码

教材页码之间的关系

页码之间有内容上的联系，哪几页属于某一篇
但是，一般来说，也就“查页码”的作用
查页码的时候，数只当做记号
查的过程其实也用到页码本身的顺序，序号
这个顺序的意义仅仅是把每一页看做一个相同的单位的前后，没有内容上的前后，原则上可以瞎印内容
如果仅仅关心印刷成本，多厚，则还可以算加法

数和数学结构小结

数用来做什么能做什么，都取决于所描述的对象之间的关系
纯粹的对象，数可以当记号
对象之间可比较，可以当序号
对象之间有某种固定间隔，数可以参与加法

数和数学结构小结

任何数学结构（描述了什么可以用来描述什么）都是由关系决定的
将来，对象和关系，用集合和映射的语言描述
数学就是研究有事物之间关系导致的（往往具有某种共性的）结构
我们学会结构用到具有类似关系的地方
我们基于关系提出新的数学结构

回到数学是什么

哪些地方体现了数学是思维的语言
哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
哪些地方体现了数学知识的系统性：有联系，从少数概念和假设建构整体
哪些地方体现了数学和科学的关系
- 数学为科学提供描述世界的结构
- 科学启发数学提出新的结构
数学是研究结构的学科

回到学习方法

高层知识生成器：系联性思维、批判性思维
高层知识生成器学了能够帮助迁移学习和迁移创造吗？
整理出来知识网络，并且注意了上下左右联系了吗？

教育系统科学研究中心

再次体验几个关键词

高层知识生成器
- 学科大图景
- 一般性人类思维
- 理解型学习
上下左右贯通
创造体验式学习

数学知识鸟瞰

休息，休息一下

从$\sqrt{2}$是无理数看数学

平方根$\sqrt{a}$的定义
有理数、无理数的定义
$\sqrt{2}$是无理数的证明
$\sqrt{4}$呢？
$\sqrt[3]{2}$呢？

平方根$\sqrt{a}$的定义

平方根$\sqrt{a}$的定义：$\left(\pm \sqrt{a}\right)^2=a$
$\sqrt{4}$可以凑出来是$2$
$\sqrt{2}$不一定凑的出来
但是，$2$的含义就包含在可以做的所有运算中
于是，$\sqrt{2}$的含义也只要知道计算中怎么用

有理数、无理数的定义

有理数是能够写成分数的数
对于分数$\frac{p}{q}$，只要我们把$\frac{1}{q}$当做新的单位，就会变成整数
不能写成的数称为无理数

有理数、无理数的定义

无理数无限不循环（？只要循环必定是分数）
有理数是循环小数（？余数有限和重复）——有限小数循环$0$
其实，论证过程中还用到了命题和逆否命题的等价关系

$\sqrt{2}$是无理数的证明

我们来看看$\sqrt{2}$是否可以表示为一个分数
下面的论证是人类文明的巨大成就，欣赏之

$\sqrt{2}$是无理数的证明

假设$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$是个分数。其中$p,q$没有公因数，有就提前消掉
于是，按照含义，$2=\left(\sqrt{2}\right)^2=\left(\frac{p}{q}\right)^2$
也就是$2=\frac{p^2}{q^2}$，$2q^2=p^2$
于是，$p^2$是一个偶数
那么，$p$也必须是偶数。如果$p$是奇数，$p^2$必然也是奇数（？）

$\sqrt{2}$是无理数的证明

记$p=2k$，于是$2q^2=2k\times 2k=4k^2$，得到$2k^2=q^2$
同理，$q$也是偶数
但是，我们已经要求$p,q$没有公因数，这里却得到公因数$2$
矛盾，因此，只要每一步推理没有错，则就是一开始的假设错了（顺便，这叫做反证法）
也就是说，$\sqrt{2}$不是个分数

$\sqrt{4}$是无理数吗？

同理，可以得到$\sqrt{3}$不是分数（去试试）
是不是还可以得到$\sqrt{4}$不是分数呢？

$\sqrt{4}$是无理数吗？

假设$\sqrt{4}=\frac{p}{q}$是个分数，有$4q^2=p^2$
于是，$p^2$必然包含因数$4$，这个条件只需要$p=2k$就可以满足，不需要$p=4k$
代入，得到$4q^2=4k^2$，也就是$q^2=k^2$，不能进一步得到$q$是偶数
没有发现矛盾

平方根有理无理数小结

我们用反证法证明了某些平方根不是一个分数
证明过程主要用到了平方根的定义，$\left(\pm \sqrt{a}\right)^2=a$
一个我们认为不太写得下来具体数字的数学对象，只要知道其如何参与运算，就够了
这就是数学的抽象思维的威力
能够写得下来具体数字的数，将来，你会越来越少遇到

拓展到立方根？

$\sqrt[3]{a}$，其含义是$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a$
$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{8}$是不是分数？

$\sqrt[3]{2}$是无理数的证明

$\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$，则$2q^3=p^3$
于是，$p=2k$是个偶数
$2q^3=8k^3\Rightarrow q^3=4k^3$，于是$q$也必须是而偶数
矛盾，因此，$\sqrt[3]{2}$不是一个分数

$\sqrt[3]{8}$是无理数吗？

$\sqrt[3]{8}=\frac{p}{q}$，则$8q^3=p^3$
这里不要求$p=8k$，而是$p=2k$就可以满足要求
于是，$8q^3=8k^3\Rightarrow q^3=k^3$，没有矛盾

平方根和立方根作业

联系到, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{8}$其中有的是分数，有的不是这个情况
请试着总结一下什么情况下，$\sqrt{a}, \sqrt[3]{a}$会是一个分数
提示，你可以假设$\sqrt{a}=\frac{p}{q}, \sqrt[3]{a}=\frac{p}{q}$

平方根和立方根作业答案

只有$a=\frac{p^2}{q^2}$（约分以后）时$\sqrt{a}$才是有理数
只有$a=\frac{p^3}{q^3}$（约分以后）时$\sqrt[3]{a}$才是有理数
学会论证，学会论证的方法本身已经很有意义
学会从具体例子中提炼一般的结论，然后加以证明或者推翻，更有意义

无理数小结

概念之间的一一对应关系
- 有理数是循环小数，无理数是不循环小数
- 有理数是分数，无理数不是分数
证明是数学的典型思维方式
反证法实际上用到了命题和逆否命题的关系（？）
数学结构的含义存在于能够对它做什么之中

$\pi$后面的极限和夹逼的思想

数学建模——数学和现实的双向关系

回到数学是什么

哪些地方体现了数学是思维的语言
哪些地方体现了“严密证明”这个数学典型思维方式
哪些地方体现了数学知识的系统性
哪些地方体现了数学和科学的关系
- 数学为科学提供描述世界的结构
- 科学启发数学提出新的结构
数学是研究结构的学科

回到学习方法

高层知识生成器：系联性思维、批判性思维
高层知识生成器学了能够帮助迁移学习和迁移创造吗？
整理出来知识网络，并且注意了上下左右联系了吗？

教育系统科学研究中心

再次体验几个关键词

高层知识生成器
- 学科大图景
- 一般性人类思维
- 理解型学习
上下左右贯通
创造体验式学习

休息，休息一下

数学解题四问

What：在这个问题中有哪些主要因素、主要元素，其中哪些是已知的，哪些是未知的
How：已知和未知之间有什么联系，这个联系如何用数学描述
Why：为什么这些联系用这样的数学来描述
Meaningful：这个求解过程是否还可以迁移到更一般的问题上，是否还有其他的求解过程

数学建模四问

What：在这个问题中有哪些主要因素、主要元素
How：这些因素或者元素之间是如何联系起来的，这个联系如何用数学描述
Why：为什么这些联系用这样的数学来描述
Meaningful：这个模型是否还可以迁移到更一般的问题上，是否还可以用其他的数学结构来描述这个问题，也就是构建另一个数学模型

数学建模五步

提出问题
把问题数学化
求解问题
检验答案
做模型、概念、求解方法的系统化和推广

休息，休息一下

语文学习的根本目的

有自己的思想和思考，想表达，可以表达
有别人的思想和思考，想搞懂，可以搞懂

语文学什么怎么学

WHWM分析性阅读和分析性写作
分解和综合
同时，形成接受和表达的意愿和习惯

WHWM分析性阅读

例子中顺便看到概念地图的作用

概念地图就是概念通过连词相连用来回答焦点问题
概念地图适合表示联系，帮助看到整体
- 层次性联系是主体，准备好迁移
- 跨越层次的联系是关键，启发迁移创造
概念地图可以用在不同的层次

口诀式教育

如何阅读一本书

层层嵌套WHWM一例

用之前的理解型学习的核心理念和概念的概念地图形式的总结为例
讲课、讲稿内容
细节图
粗略图
更加粗略的图
只留下结论和最主要的论证步骤的图

阅读也是系联性思考

每个层次从个体看到整体从整体来看个体
批判性地看每一部分论证的逻辑
上下贯通
画个概念地图有帮助

休息，休息一下

科学（物理学）模块大纲

物理学的学科大图景
物理学家的物理学史
量子系统的行为和可计算心智模型
回到物理学甚至科学的学科大图景

物理学的学科大图景

典型研究对象：自然界中无生命的那些？有生命的呢，有思维的呢？社会呢？
典型研究问题：状态，状态的变化，变化的原因，往往需要看结构
典型研究方法：概念建模（抽象提炼）和数学建模、计算、实验
典型思维方式：分解和综合，力学世界观，批判性思维
和世界还有其他学科的关系：所有科学的基础，启发和应用数学

Russell谈哲学神学和科学

科学是既讲道理（可计算）又可检验的
哲学是讲道理但是不可检验的
神学是既不讲道理又不可检验的
（吴金闪补充的）数学是讲道理但是不屑于检验的

物理学家的物理学史

Aristotle之前，物理和哲学不分家，形而上和形而下不分家
数学是思辨的形式化，也受现实启发（不受其约束），Plato, Euclid
Aristotle，物理学研究形而下，也就是可以“看到的”“物质的”世界
可惜具体规律（重物落得更快，力是维持物体运动的原因）基于生活经验猜的，都是错的

物理学家的物理学史

Galileo：所谓的“物质的”的意思是可以做测量做实验
Galileo做了地面上的运动实验和规律的初步探索，光滑程度和力
Galileo的理想实验

物理学家的物理学史

地心说，基于生活经验猜的，很自然，模型越来越复杂
Ptolemy等人的地心说仍然在尽可能地提供可计算的可检验的模型
Kopernik的日心说
Descartes系统地总结了批判性思维
Bacon总结梳理了归纳法

物理学家的物理学史

Tycho Brahe获得天体运动的数据
Kepler总结的数据规律
猜想、观测、计算、简单性

物理学家的物理学史

Newton把地上的运动用力和运动的关系（也就是$\vec{F}=m\vec{a}$）来描述
Newton继续追问，天上的运动是不是这个描述也能用
从而提出了微积分和万有引力定律
建模、计算、统一性、数学和物理的关系

Newton力学

时间$t$和空间位置$\vec{r}$是可测量，并且和物体的运动状态无关
运动物体的状态由空间矢量$\vec{r}$描述，因此任一时刻有$\vec{r}\left(t\right)$
- 用导数定义速度$\vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{r}$，加速度
- 以及反过来用积分从速度的得到位置
物体之间的相互作用由力$\vec{F}$（可以是位置的函数）描述

Newton力学

Newton把地上的运动用力和运动的关系（也就是$\vec{F}=m\vec{a}$）来描述
这是封闭的微分方程

Newton力学

有些对象的状态和状态变化过程启发我们思考还有其他的影响他们状态的东西，发现天体
有的时候也启发我们思考这些对象具有内部结构，例如不倒翁、陀螺
物理学家进一步不断地把一个个对象打开
希望了解了内部之后，重新合起来可以更好地了解上层结构
称为分解和综合
有的时候合起来会得到非平庸的结果，称作涌现，以后再说

Newton力学的总结

绝对时空观
物体状态由空间矢量$\vec{r}$描述
物体间相互作用由力$\vec{F}$描述
物体运动由矢量方程$\vec{F}=m\vec{a}$描述
必要的时候纳入更多内部或者外部因素，分解和综合

物理学家的物理学史，总结

批判性思维
- 基于生活经验猜测不可靠
- 需要依靠建模、计算和实验
不断地追求系统化统一化是重要推动力
力学的世界观：状态怎么描述，是否变化，变化原因是什么
分解和综合是其典型的思维方式

物理学家的物理学史，总结

具体的Newton力学的知识可以保留或者扬弃
研究对象上的限制也可以突破
但是，思维方式和分析方法这些更高层的知识生成器，已知还管用
顺便，科学不回答其理论为什么管用

休息，休息一下

量子系统的行为和心智模型

我们试试把知识和思维都迁移到描述量子系统的行为
先来搞清楚行为
再来试试用一下Newton力学，或者其他模型
看看到底突破了哪些概念和思维

乒乓球过三道门

两种颜色的乒乓球
两种颜色的门，允许同种颜色的过，挡住不同颜色
一道门、两道门、三道门的现象
这些现象背后的心智模型：纯或者伪随机的球，$\rho=\frac{1}{2}\left|W\right\rangle\left\langle W\right|+\frac{1}{2}\left|Y\right\rangle\left\langle Y\right|$

绳子上的波和三道门

两个方向振动的波
两个方向的门，狭缝允许同方向的过，挡住垂直方向的振动
一道门、两道门、三道门的现象

绳子上的波和三道门

这些现象背后的心智模型：Newton力学
- 相对运动相互拉扯
- 矢量分解和叠加，$\vec{r}=r_{x}\hat{i}+r_{y}\hat{j}$

光子过三个偏振片

光子之间的联系忽略不计，像乒乓球
两个方向的振动状态：H,V
两个方向的偏振片，内部方向允许同方向的过，挡住垂直方向的振动

光子过三个偏振片

一个两个三个偏振片的现象，像波
这些现象背后的心智模型：Newton力学？

光子的可计算心智模型

实体上，像乒乓球一样一个个的，独立的
数学上，像波，矢量分解和叠加，$H$态“加上”$V$态是一个态
用波的方式描述的单个个体
例如，$\rho=\left|\psi\right\rangle\left\langle \psi\right|$, $\left|\psi\right\rangle = \psi_{H}\left|H\right\rangle+\psi_{V}\left|V\right\rangle$

光过玻璃的实验

光经过相机的镀膜层镜头之后，反射会减少
其解释必须让第一次反射光和第二次反射光相互抵消，注意经典力学范围内这两次反射不能同时发生

光子双缝干涉实验

把光看做经典波，两个小缝当光源，经典波相加，相位差异，可以解释干涉现象
实际上，可以用单光子做实验，现象还是如此，怎么解释？
按照经典概率，不能解释干涉，只能概率相加，不会完全变暗
同样要求经典力学范围内完全不能同时发生的两件事做“矢量相加”

光子双缝干涉实验

光子现象和模型，总结

量子的行为要求量子状态的数学描述满足“矢量加法”
经典随机状态的“矢量加法”不存在，例如猫的“死+活（$\psi_{d}\left|d\right\rangle+\psi_{a}\left|a\right\rangle$）”不是一个态
- 仅仅概率组合$\rho=P_{d}\left|d\right\rangle\left\langle d\right|+P_{a}\left|a\right\rangle\left\langle a\right|$是一个经典态

光子现象和模型，总结

只要允许经典力学范围内完全不能同时发生的两件事做“矢量相加”，就能描述
例如，$\rho=\left|\psi\right\rangle\left\langle \psi\right|$, $\left|\psi\right\rangle = \psi_{H}\left|H\right\rangle+\psi_{V}\left|V\right\rangle$
这个描述人类的大脑能理解吗？什么是理解？